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60 Jahre alte Collatz Vermutung bewiesen?!!

Die Collatz Vermutung ist eine Annahme aus dem Bereich der Zahlentheorie der Mathematik. Sie ist ohne weiteres für den Laien verständlich :

(1) Man nehme eine ganze Zahl größer gleich 1

(2) Wenn die Zahl gerade (daher durch 2 ohne Rest teilbar) ist, teilen wir diese Zahl durch 2

(3) Wenn (2) nicht zutrifft (also eine ungerade Zahl vorliegt) multiplizieren wir zunächst mit 3 und addieren dann 1.

(4) Wiederhole die Schritte (2) und (3) immer wieder mit der sich aus der Folge ergebenden neuen Zahl.

(5) Vermutung: Die entstehende Folge von Zahlen endet immer bei 1. (Genauer: Die sich schließlich ergebende Zahlfolge ist immer: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …)

Beispiel:

Wir wählen als erste Zahl nach Schritt (1) die 10. 10 ist gerade. Also teilen wir gem. Schritt (2) durch 2. Es ergibt sich 5. 5 ist ungerade. Also nun Schritt (3): 3 x 5 + 1 = 16. 16 ist gerade. Nach Schritt (2) ergibt sch 8, dann 4, dann 2, dann 1. Ab der 1 wiederholt sich die Zahlenfolge unendlich mit den Elementen 1,4,2,1…

Diese Vermutung scheint nun von Gerhard Opfer bewiesen worden zu sein (Link hier). Der Beweis wird gerade der üblichen Prüfung unterzogen. Was es so interessant macht ist, dass der Beweis für den Nichtmathematiker außerordentlich schwierig zu verstehen ist (eigentlich ist er nicht verständlich), obgleich die zu beweisende Vermutung simpel ist. Das gleiche gilt auch für den Großen Fermatschen Satz. Oft ist es so, dass gerade aus der zunächst einfach erscheinenden Zahlentheorie sehr komplexe Beweise resultieren, die die unterschiedlichsten mathematischen Gebiete mit einander verknüpfen.

Das macht die Logik der Mathematik so faszinierend. Jedenfalls für mich Smiley

Zurück zur Collatz Vermutung. Ich wage hier eine weitere Vermutung:

Man erzeuge sämtliche Collatz Zahlenfolgen für jede Zahl n im Intervall 1 <= n < unendlich und zähle die Häufigkeit (Anzahl) H(m) der ermittelten Zahlen m, so gilt folgendes:

(1) H(m)>=1 für alle m <= n/2. Der Beweis hierfür ist übrigens trivial.

(2) Die kleinste Zahl für die gilt H(m)=0 ist die erste Zahl m für die gilt: m >=n/2 und m MOD 3=0

(3) Für sämtliche durch 3 teilbare Zahlen m im Intervall 1 <= m <= n gilt: H(m) für die geordnete Zahl m nimmt monoton ab, bis H(m) nach (2) gleich Null ist.

(4) (3) gilt nur für den Divisor 3.

(5) Für eine Zahl n, deren Collatz Zahlenfolge ermittelt wird, kann es keine Zahl m in der Zahlenfolge mit folgender Eigenschaft geben: m > n wobei m MOD 3 = 0 ist. Ich denke, auch dieser Punkt ist trivial.

Zwinkerndes Smiley Viel Spaß beim Nachdenken… Ah, vielleicht umfasst der Opfersche Beweis ja die Punkte (1) bis (5)… Für den Mathematiker wahrscheinlich eh alles trivial, aber egal.

… leider war der Beweis von Herrn Opfer nicht korrekt. Schade…

 

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